TNPSC MATHS FREE ONLINE TESTS WITH SOLUTIONS-03

by






Math Problems


19.

A, B ஐ விட 10 வருடங்கள் மூத்தவர், x வருடங்களுக்கு முன்னால் A, B ஐப்போல் இரு மடங்கு வயதானவர். இப்பொழுது Bயின் வயது 12 ஆனால், x ஐக் காண்க.

விருப்பங்கள்

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

குறுக்குவழி முறை

தற்போதைய வயதுகள்: $B = 12$, $A = 12+10 = 22$.

$x$ ஆண்டுகளுக்கு முன்பு: $A = 22-x$, $B = 12-x$.

கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

$$22-x = 2(12-x)$$
$$22-x = 24-2x \implies x = 2$$

விருப்பம் B.

சாதாரண முறை

B-யின் தற்போதைய வயது $B_{present}$ மற்றும் A-யின் தற்போதைய வயது $A_{present}$ என்க.

B-யின் தற்போதைய வயது கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

$$B_{present} = 12 \text{ ஆண்டுகள்}$$

A என்பவர் B ஐ விட 10 வருடங்கள் மூத்தவர்:

$$A_{present} = B_{present} + 10 = 12 + 10 = 22 \text{ ஆண்டுகள்}$$

$x$ ஆண்டுகளுக்கு முன்பு:

$$A_{ago} = A_{present} – x = 22 – x$$
$$B_{ago} = B_{present} – x = 12 – x$$

$x$ ஆண்டுகளுக்கு முன்பிருந்த நிபந்தனை: A என்பவர் B ஐப் போல் இரு மடங்கு வயதானவர்.

$$A_{ago} = 2 \times B_{ago}$$
$$22 – x = 2(12 – x)$$
$$22 – x = 24 – 2x$$

$x$-ஐக் கண்டறிய உறுப்புகளை மாற்றியமைத்தல்:

$$2x – x = 24 – 22$$
$$x = 2$$

x-இன் மதிப்பு 2 ஆண்டுகள்.

விருப்பம் B.

கூடுதல் தகவல் / முக்கிய குறிப்புகள்

  • வயது கணக்குகள் பெரும்பாலும் கடந்தகால, நிகழ்கால அல்லது எதிர்கால வயதுகளின் அடிப்படையில் சமன்பாடுகளை அமைப்பதை உள்ளடக்கியது.
  • முதலில் தற்போதைய வயதுகளுக்கான மாறிகளை தெளிவாக வரையறுக்கவும்.
  • “$x$ ஆண்டுகளுக்கு முன்பு” என்பது தற்போதைய வயதிலிருந்து $x$ ஐக் கழிப்பதைக் குறிக்கிறது. “$x$ ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு/பின்னர்” என்பது தற்போதைய வயதுடன் $x$ ஐக் கூட்டுவதைக் குறிக்கிறது.
  • உங்கள் விடையைச் சரிபார்க்கவும்: தற்போது $A=22, B=12$. $2$ ஆண்டுகளுக்கு முன்பு, $A=20, B=10$. A என்பவர் B ஐப் போல் இரு மடங்கா? ஆம், $20 = 2 \times 10$.

20.

4 பேர்கள் ஒரு நாளில் 4 மணி நேரம் வீதம் வேலை செய்து, 4 நாள்களில் ஒரு வேலையை முடிப்பார்கள். 8 பேர்கள் ஒருநாளில் 8 மணி நேரம் வீதம் வேலை செய்தால், எத்தனை நாள்களில் அவ்வேலையை முடிப்பார்கள்?

விருப்பங்கள்

  • 8 நாள்கள்
  • 4 நாள்கள்
  • 2 நாள்கள்
  • 1 நாள்

குறுக்குவழி முறை

$M_1 D_1 H_1 = M_2 D_2 H_2$ ஐப் பயன்படுத்தவும்.

$$4 \times 4 \times 4 = 8 \times D_2 \times 8$$
$$64 = 64 \times D_2$$
$$D_2 = 1 \text{ நாள்}$$

விருப்பம் D.

சாதாரண முறை

முதல் நேர்வுக்கு நபர்கள், நாட்கள், மற்றும் ஒரு நாளைக்கான மணிநேரம் முறையே $M_1, D_1, H_1$ என்க.

இரண்டாம் நேர்வுக்கு $M_2, D_2, H_2$ என்க. இரு நேர்வுகளிலும் செய்யப்பட்ட வேலை (W) ஒன்றே.

தொடர்பு

$$\frac{M_1 D_1 H_1}{W_1} = \frac{M_2 D_2 H_2}{W_2}$$

$W_1 = W_2$ என்பதால், $M_1 D_1 H_1 = M_2 D_2 H_2$ ஆகும்.

நேர்வு 1:

$M_1 = 4$ நபர்கள்

$D_1 = 4$ நாட்கள்

$H_1 = 4$ மணி/நாள்

நேர்வு 2:

$M_2 = 8$ நபர்கள்

$H_2 = 8$ மணி/நாள்

$D_2 = ?$ நாட்கள்

மதிப்புகளைப் பிரதியிடவும்:

$$4 \times 4 \times 4 = 8 \times D_2 \times 8$$
$$64 = 64 \times D_2$$

$D_2$ க்காக தீர்க்கவும்:

$$D_2 = \frac{64}{64}$$
$$D_2 = 1$$

அவர்கள் வேலையை 1 நாளில் முடிப்பார்கள்.

விருப்பம் D.

கூடுதல் தகவல் / முக்கிய குறிப்புகள்

  • இந்த சூத்திரம் $M_1 D_1 H_1 = M_2 D_2 H_2$ ஒவ்வொரு நபரின் திறமையும் ஒன்றே மற்றும் செய்யப்பட்ட வேலையும் ஒன்றே என அனுமானிக்கிறது.
  • வேலை (W) அல்லது திறன் (E) மாறினால், சூத்திரம் $\frac{M_1 D_1 H_1 E_1}{W_1} = \frac{M_2 D_2 H_2 E_2}{W_2}$ என மாறும்.
  • இது எதிர் விகித சமன்பாடு: நபர்கள் அதிகரித்தால் (மணிநேரம் மாறிலி), நாட்கள் குறையும். ஒரு நாளைக்கான மணிநேரம் அதிகரித்தால் (நபர்கள் மாறிலி), நாட்கள் குறையும்.

20.

ஒரு புகைவண்டி 60 மீட்டர் நீளமுள்ள பிளாட்பாரத்தை 20 வினாடிகளிலும், ஒரு மனிதனை 12 வினாடிகளிலும் கடக்கிறது எனில், அதன் வேகம்

விருப்பங்கள்

  • 18 கி.மீ./மணி
  • 27 கி.மீ./மணி
  • 36 கி.மீ./மணி
  • 40 கி.மீ./மணி

குறுக்குவழி முறை

புகைவண்டியின் நீளம் = $L_t$, வேகம் = $S$ என்க.

$$L_t = S \times 12$$
$$L_t + 60 = S \times 20$$
$$12S + 60 = 20S \implies 8S = 60 \implies S = \frac{60}{8} = 7.5 \text{ மீ/வி}$$

கி.மீ./மணிக்கு மாற்றுக:

$$S = 7.5 \times \frac{18}{5} = \frac{15}{2} \times \frac{18}{5} = 3 \times 9 = 27 \text{ கி.மீ./மணி}$$

விருப்பம் B.

சாதாரண முறை

புகைவண்டியின் நீளம் $L_t$ மீட்டர் மற்றும் அதன் வேகம் $S$ மீ/வி என்க.

நேர்வு 1: ஒரு மனிதரைக் கடக்கும்போது (புள்ளிப் பொருள்).

கடந்த தூரம் = $L_t$. எடுத்துக்கொண்ட நேரம் = 12 வினாடிகள்.

தூரம் = வேகம் × நேரம் என்பதைப் பயன்படுத்தி:

$$L_t = S \times 12 \quad (\text{சமன்பாடு } 1)$$

நேர்வு 2: ஒரு பிளாட்பாரத்தைக் கடக்கும்போது.

பிளாட்பாரத்தின் நீளம் = 60 மீட்டர்.

கடந்த தூரம் = $L_t + 60$. எடுத்துக்கொண்ட நேரம் = 20 வினாடிகள்.

தூரம் = வேகம் × நேரம் என்பதைப் பயன்படுத்தி:

$$L_t + 60 = S \times 20 \quad (\text{சமன்பாடு } 2)$$

சமன்பாடு 1 இலிருந்து $L_t$ இன் மதிப்பை சமன்பாடு 2 இல் பிரதியிடவும்:

$$(12S) + 60 = 20S$$
$$60 = 20S – 12S$$
$$60 = 8S$$
$$S = \frac{60}{8} = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ மீ/வி}$$

விருப்பங்கள் கி.மீ./மணியில் உள்ளன. வேகத்தை மீ/வி இலிருந்து கி.மீ./மணிக்கு மாற்றவும்:

மீ/வி ஐ கி.மீ./மணிக்கு மாற்ற, $\frac{18}{5}$ ஆல் பெருக்கவும்.

$$S = 7.5 \times \frac{18}{5}$$
$$S = \frac{15}{2} \times \frac{18}{5}$$
$$S = \frac{3 \times 18}{2} = 3 \times 9 = 27 \text{ கி.மீ./மணி}$$

புகைவண்டியின் வேகம் 27 கி.மீ./மணி.

விருப்பம் B.

கூடுதல் தகவல் / முக்கிய குறிப்புகள்

  • ஒரு புகைவண்டி ஒரு புள்ளிப் பொருளைக் (மனிதன், கம்பம்) கடக்கும்போது, கடந்த தூரம் = புகைவண்டியின் நீளம்.
  • ஒரு புகைவண்டி ஒரு நீளமுள்ள பொருளைக் (பிளாட்பாரம், பாலம், மற்றொரு புகைவண்டி) கடக்கும்போது, கடந்த தூரம் = புகைவண்டியின் நீளம் + பொருளின் நீளம்.
  • வேக மாற்றம்: $1 \text{ கி.மீ./மணி} = \frac{5}{18} \text{ மீ/வி}$ மற்றும் $1 \text{ மீ/வி} = \frac{18}{5} \text{ கி.மீ./மணி}$.
  • $\text{தூரம்} = \text{வேகம்} \times \text{நேரம்}$ ஐப் பயன்படுத்தும்போது அலகுகள் சீராக இருப்பதை உறுதிப்படுத்தவும்.

21.

ஒரு வகுப்பில் உள்ள மாணவர்களின் சராசரி வயது 15.8 ஆண்டுகள். அந்த வகுப்பில் உள்ள பையன்களின் சராசரி வயது 16.4 ஆண்டுகள். மேலும் அவ்வகுப்பில் உள்ள பெண்களின் சராசரி வயது 15.4 ஆண்டுகள். அவ்வகுப்பில் உள்ள பையன்களுக்கும் பெண்களுக்கும் உள்ள விகிதம்

விருப்பங்கள்

  • 1:2
  • 3:4
  • 3:5
  • 2:3

குறுக்குவழி முறை

அல்லிகேஷன் விதியைப் பயன்படுத்தவும்.

பையன்களின் சராசரி ($A_b$): 16.4

பெண்களின் சராசரி ($A_g$): 15.4

மொத்த சராசரி ($A_m$): 15.8

பையன்கள் : பெண்கள் விகிதம் = ($A_m – A_g$) : ($A_b – A_m$)

$$\text{வித்தியாசம் 1 } (A_m – A_g): 15.8 – 15.4 = 0.4$$
$$\text{வித்தியாசம் 2 } (A_b – A_m): 16.4 – 15.8 = 0.6$$

பையன்கள் : பெண்கள் விகிதம்:

$$0.4 : 0.6$$

சுருக்கவும்:

$$4 : 6 = 2 : 3$$

விருப்பம் D.

சாதாரண முறை

பையன்களின் எண்ணிக்கை $N_b$ மற்றும் பெண்களின் எண்ணிக்கை $N_g$ என்க.

பையன்களின் சராசரி வயது ($A_b$): 16.4 ஆண்டுகள்.

பெண்களின் சராசரி வயது ($A_g$): 15.4 ஆண்டுகள்.

அனைத்து மாணவர்களின் சராசரி வயது ($A_m$): 15.8 ஆண்டுகள்.

பையன்களின் மொத்த வயதுகளின் கூடுதல்:

$$16.4 \times N_b$$

பெண்களின் மொத்த வயதுகளின் கூடுதல்:

$$15.4 \times N_g$$

அனைத்து மாணவர்களின் மொத்த வயதுகளின் கூடுதல்:

$$15.8 \times (N_b + N_g)$$

மொத்த வயதுகளின் கூடுதலை சமன்படுத்துதல்:

$$16.4 N_b + 15.4 N_g = 15.8 (N_b + N_g)$$
$$16.4 N_b + 15.4 N_g = 15.8 N_b + 15.8 N_g$$

உறுப்புகளை மாற்றியமைத்தல்:

$$16.4 N_b – 15.8 N_b = 15.8 N_g – 15.4 N_g$$
$$(16.4 – 15.8) N_b = (15.8 – 15.4) N_g$$
$$0.6 N_b = 0.4 N_g$$

$N_b : N_g$ (அல்லது $\frac{N_b}{N_g}$) என்ற விகிதத்தைக் கண்டறிய:

$$\frac{N_b}{N_g} = \frac{0.4}{0.6}$$
$$\frac{N_b}{N_g} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

எனவே, பையன்களுக்கும் பெண்களுக்கும் உள்ள விகிதம் 2 : 3 ஆகும்.

விருப்பம் D.

கூடுதல் தகவல் / முக்கிய குறிப்புகள்

  • அல்லிகேஷன் விதி (Rule of Alligation): இது கலவைகள் மற்றும் நிறையிடப்பட்ட சராசரிகள் தொடர்பான பிரச்சனைகளைத் தீர்க்கப் பயன்படும் ஒரு நுட்பமாகும். இது வரைபட ரீதியாக உறவை பிரதிபலிக்கிறது: மலிவானதன் மதிப்பு ($V_c$), விலை உயர்ந்ததன் மதிப்பு ($V_d$), மற்றும் சராசரி மதிப்பு ($V_m$) தெரிந்தால், அளவுகளின் விகிதம் ($\text{மலிவானது} : \text{விலை உயர்ந்தது}$) = ($V_d – V_m$) : ($V_m – V_c$) ஆகும். இந்தக் கணக்கில், “மலிவானது” பெண்களின் சராசரியாகவும், “விலை உயர்ந்தது” பையன்களின் சராசரியாகவும் இருக்கலாம். இதன் விளைவாக அளவுகளின் விகிதம் (பெண்களின் எண்ணிக்கை : பையன்களின் எண்ணிக்கை) கிடைக்கும். எனவே, பையன்கள்:பெண்கள் விகிதத்தைப் பெற, முறையே பெண்கள் மற்றும் பையன்களுடன் தொடர்புடைய வித்தியாசங்களை எடுக்க வேண்டும். பையன்களின் எண்ணிக்கை : பெண்களின் எண்ணிக்கை = ($A_m – A_g$) : ($A_b – A_m$).
  • நிறையிடப்பட்ட சராசரி சூத்திரம்: இரண்டு குழுக்களில் முறையே $n_1$ மற்றும் $n_2$ உறுப்பினர்கள் $A_1$ மற்றும் $A_2$ என்ற சராசரிகளுடன் இருந்தால், ஒருங்கிணைந்த சராசரி $A_m$ என்பது $A_m = \frac{n_1 A_1 + n_2 A_2}{n_1 + n_2}$ ஆகும். இது இயற்கணித முறையின் அடிப்படையாகும்.

22.

சுருக்குக. $\frac{2^5 \times 9^2}{8^2 \times 3^5}$

விருப்பங்கள்

  • 1/6
  • 2/3
  • 3/2
  • 1/8

குறுக்குவழி முறை

அடிமானங்களை பகா எண்களாக மாற்றுக: $9=3^2, 8=2^3$.

$$\text{கோவை } = \frac{2^5 \times (3^2)^2}{(2^3)^2 \times 3^5} = \frac{2^5 \times 3^4}{2^6 \times 3^5}$$

அடுக்குகளைக் கழிக்கவும்:

$$2^{5-6} \times 3^{4-5} = 2^{-1} \times 3^{-1} = \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{6}$$

விருப்பம் A.

சாதாரண முறை

கொடுக்கப்பட்ட கோவை:

$$\frac{2^5 \times 9^2}{8^2 \times 3^5}$$

எண்களை அவற்றின் பகா காரணி அடிமானங்களுக்கு மாற்றவும்:

$$9 = 3^2$$
$$8 = 2^3$$

இவற்றை கோவையில் பிரதியிடவும்:

$$\frac{2^5 \times (3^2)^2}{(2^3)^2 \times 3^5}$$

அடுக்கு விதி $(a^m)^n = a^{mn}$ ஐப் பயன்படுத்தவும்:

$$\frac{2^5 \times 3^{2 \times 2}}{2^{3 \times 2} \times 3^5} = \frac{2^5 \times 3^4}{2^6 \times 3^5}$$

அடுக்கு விதி $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ஐப் பயன்படுத்தவும்:

$$2^{5-6} \times 3^{4-5}$$
$$2^{-1} \times 3^{-1}$$

அடுக்கு விதி $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$ ஐப் பயன்படுத்தவும்:

$$\frac{1}{2^1} \times \frac{1}{3^1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$$

முடிவு:

$$\frac{1}{6}$$

விருப்பம் A.

கூடுதல் தகவல் / முக்கிய குறிப்புகள்

  • அடுக்கு விதிகள் (Laws of Exponents):
    • $a^m \times a^n = a^{m+n}$
    • $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
    • $(a^m)^n = a^{mn}$
    • $(ab)^n = a^n b^n$
    • $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$
    • $a^0 = 1$ ($a \neq 0$ க்கு)
    • $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
  • அடுக்குகளைக் கொண்ட கோவைகளை சுருக்கும் முன் எப்போதும் எண்களை அவற்றின் பகா அடிமானங்களுக்கு மாற்றவும்.

23.

இரு எண்களின் பெருக்கற்பலன் 192. அந்த இரு எண்களின் வித்தியாசம் 4 எனில், அவ்வி இரு எண்களின் கூடுதல் என்ன?

விருப்பங்கள்

  • 28
  • 26
  • 32
  • 42

குறுக்குவழி முறை

முற்றொருமையைப் பயன்படுத்துக: $(x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy$.

$x-y=4, xy=192$ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

$$(x+y)^2 = 4^2 + 4(192) = 16 + 768 = 784$$
$$x+y = \sqrt{784} = 28$$

விருப்பம் A.

சாதாரண முறை

இரு எண்கள் $x$ மற்றும் $y$ என்க.

கொடுக்கப்பட்டவை:

பெருக்கற்பலன்: $xy = 192$ (சமன்பாடு 1)

வித்தியாசம்: $x – y = 4$ (சமன்பாடு 2) ($x > y$ எனக்கொண்டு)

நாம் கூடுதல் $x + y$ ஐக் கண்டறிய வேண்டும்.

இயற்கணித முற்றொருமையைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

$$(x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy$$

கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளை பிரதியிடவும்:

$$(x+y)^2 = (4)^2 + 4(192)$$
$$(x+y)^2 = 16 + 768$$
$$(x+y)^2 = 784$$

வர்க்கமூலம் எடுக்கவும்:

$$x+y = \sqrt{784}$$

$\sqrt{784}$ ஐக் கண்டறிய: $20^2 = 400$ மற்றும் $30^2 = 900$ என்பதால், மூலம் 20 க்கும் 30 க்கும் இடையில் இருக்கும். கடைசி இலக்கம் 4, எனவே மூலம் 2 அல்லது 8 இல் முடியும்.

$28^2 = (30-2)^2 = 900 – 120 + 4 = 784$ ஐ சோதிக்கவும்.

எனவே,

$$x+y = 28$$

விருப்பம் A.

கூடுதல் தகவல் / முக்கிய குறிப்புகள்

  • முக்கிய இயற்கணித முற்றொருமைகள்:
    • $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$
    • $(x-y)^2 = x^2 + y^2 – 2xy$
    • இவற்றிலிருந்து, $(x+y)^2 – (x-y)^2 = 4xy$, இது பயன்படுத்தப்பட்ட முற்றொருமைக்கு வழிவகுக்கிறது.
  • எண்களைக் கண்டறிதல்: தேவைப்பட்டால், $x-y=4 \implies x=y+4$. இதை $xy=192$ இல் பிரதியிடவும்: $(y+4)y=192 \implies y^2+4y-192=0$. $192$ இன் காரணிகளை வித்தியாசம் $4$ வருமாறு பிரிக்க: $16 \times 12 = 192$ மற்றும் $16-12=4$. எனவே $y=12, x=16$. கூடுதல் $16+12=28$.
  • இந்தக் கணக்கு விரைவாகத் தீர்க்க இயற்கணித முற்றொருமைகளின் அறிவைச் சோதிக்கிறது.

25.

பின்வரும் எண்களில் எந்த எண் 24 ஆல் மீதமில்லாமல் வகுபடும்?

விருப்பங்கள்

  • 63810
  • 537804
  • 3125736
  • 35718

குறுக்குவழி முறை

24 ஆல் வகுபடுவது என்றால் 3 மற்றும் 8 ஆல் வகுபடும் (சார்பகா எண்கள்).

8 க்கான சோதனை (கடைசி 3 இலக்கங்கள் 8 ஆல் வகுபடும்) மற்றும் 3 க்கான சோதனை (இலக்கங்களின் கூடுதல் 3 ஆல் வகுபடும்).

C) 3125736:

கூடுதல்: $3+1+2+5+7+3+6 = 27$ (3 ஆல் வகுபடும்).

கடைசி 3: 736. $736 \div 8 = 92$. (8 ஆல் வகுபடும்).

இரண்டும் சரி.

விருப்பம் C.

சாதாரண முறை

ஒரு எண் 24 ஆல் வகுபட வேண்டுமெனில் அது 3 மற்றும் 8 இரண்டாலும் வகுபட வேண்டும் (24 = $3 \times 8$ மற்றும் மீ.பொ.வ.(3,8)=1 என்பதால்).

3 ஆல் வகுபடும் விதி: இலக்கங்களின் கூடுதல் 3 ஆல் வகுபட வேண்டும்.

8 ஆல் வகுபடும் விதி: கடைசி மூன்று இலக்கங்களால் ஆன எண் 8 ஆல் வகுபட வேண்டும்.

A) 63810

இலக்கங்களின் கூடுதல்: $6+3+8+1+0 = 18$. (3 ஆல் வகுபடும்)

கடைசி மூன்று இலக்கங்கள்: 810. $810 \div 8 = 101 \text{ மீதி } 2$. (8 ஆல் வகுபடாது)

B) 537804

இலக்கங்களின் கூடுதல்: $5+3+7+8+0+4 = 27$. (3 ஆல் வகுபடும்)

கடைசி மூன்று இலக்கங்கள்: 804. $804 \div 8 = 100 \text{ மீதி } 4$. (8 ஆல் வகுபடாது)

C) 3125736

இலக்கங்களின் கூடுதல்: $3+1+2+5+7+3+6 = 27$. (3 ஆல் வகுபடும்)

கடைசி மூன்று இலக்கங்கள்: 736. $736 \div 8 = 92$. (8 ஆல் வகுபடும்)

இது 3 மற்றும் 8 இரண்டாலும் வகுபடுவதால், 24 ஆல் வகுபடும்.

D) 35718

இலக்கங்களின் கூடுதல்: $3+5+7+1+8 = 24$. (3 ஆல் வகுபடும்)

கடைசி மூன்று இலக்கங்கள்: 718. $718 \div 8 = 89 \text{ மீதி } 6$. (8 ஆல் வகுபடாது)

சரியான விருப்பம் C.

கூடுதல் தகவல் / முக்கிய குறிப்புகள்

  • விரைவிற்கு வகுபடும் விதிகள் முக்கியமானவை:
    • 2 ஆல்: கடைசி இலக்கம் இரட்டைப்படை.
    • 4 ஆல்: கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் 4 ஆல் வகுபடும் எண்ணை உருவாக்கும்.
    • 6 ஆல்: 2 மற்றும் 3 இரண்டாலும் வகுபடும்.
  • ஒரு கலப்பு எண்ணால் (24 போன்றவை) வகுபடுவதைச் சரிபார்க்க: அதை சார்பகா காரணிகளாகப் பிரிக்கவும் ($24 = 3 \times 8$, இங்கு 3 மற்றும் 8 சார்பகா எண்கள்). அந்த எண் இந்த ஒவ்வொரு சார்பகா காரணியாலும் வகுபட வேண்டும்.
  • $24 = 4 \times 6$ போன்ற சார்பகா அல்லாத காரணிகளைப் பயன்படுத்த வேண்டாம். 4 மற்றும் 6 ஆல் வகுபடும் ஒரு எண் நிச்சயமாக 24 ஆல் வகுபடும் என்பதில்லை (எ.கா., 12).

26.

1/3, 1/6, 1/12, $\dots$ எனும் பெருக்கல் தொடரின் எட்டாவது உறுப்பைக் கண்டிபிடி.

விருப்பங்கள்

  • 1/24
  • 1/48
  • 1/384
  • 1/128

குறுக்குவழி முறை

முதல் உறுப்பு $a = 1/3$. பொது விகிதம் $r = (1/6) / (1/3) = 1/2$.

8வது உறுப்பு

$$T_8 = ar^{7} = \left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^7 = \left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{128}\right) = \frac{1}{384}$$

விருப்பம் C.

சாதாரண முறை

கொடுக்கப்பட்ட தொடர் ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை (GP) ஆகும்.

முதல் உறுப்பு ($a$):

$$a = \frac{1}{3}$$

பொது விகிதம் ($r$) எந்தவொரு உறுப்பையும் அதன் முந்தைய உறுப்பால் வகுப்பதன் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது:

$$r = \frac{T_2}{T_1} = \frac{1/6}{1/3} = \frac{1}{6} \times \frac{3}{1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் $n^{th}$ உறுப்பிற்கான சூத்திரம் $T_n = ar^{n-1}$ ஆகும்.

நாம் 8வது உறுப்பைக் கண்டறிய வேண்டும், எனவே $n=8$.

$$T_8 = a r^{8-1} = a r^7$$

$a$ மற்றும் $r$ இன் மதிப்புகளை பிரதியிடவும்:

$$T_8 = \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{2}\right)^7$$

$(\frac{1}{2})^7$ ஐக் கணக்கிடுக:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^7 = \frac{1^7}{2^7} = \frac{1}{128}$$

இப்போது $T_8$ ஐக் கணக்கிடுக:

$$T_8 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{128} = \frac{1}{3 \times 128}$$
$$T_8 = \frac{1}{384}$$

விருப்பம் C.

கூடுதல் தகவல் / முக்கிய குறிப்புகள்

  • பெருக்குத் தொடர்வரிசை (GP): முதல் உறுப்புக்குப் பிறகு ஒவ்வொரு உறுப்பும் முந்தைய உறுப்பை ஒரு நிலையான, பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் (பொது விகிதம், $r$) பெருக்குவதன் மூலம் கண்டறியப்படும் ஒரு தொடர்வரிசை.
  • ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் முதல் $n$ உறுப்புகளின் கூடுதல்: $S_n = \frac{a(r^n – 1)}{r-1}$ ($r \neq 1$ எனில்).
  • ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் முடிவிலி வரையிலான கூடுதல்: $S_\infty = \frac{a}{1-r}$ ($|r| < 1$ எனில்). இந்தக் கணக்கில், $|1/2| < 1$, எனவே முடிவிலி வரையிலான கூடுதல் உள்ளது.
  • பின்னங்களின் அடுக்குகளைக் கவனமாகக் கையாளவும்: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.



Please disable your adblocker this site!

DOWNLOAD OUR OFFICIAL APP

DOWNLOAD
X

You cannot copy content of this page